Version longue et calculatoire
==============================
Soit a,b,c les nombres de marches des premiere, seconde et troisieme volees d'escalier. Soit v la vitesse normale de montee (en marches/secondes).
L'enonce implique successivement les egalites suivantes :
a = 8/9 c
a/2 = 2 + (a+b+c)/7
v = c/13.5
a/(3v) + b/(3v 5/6) + 2/3 c/(3v 2/3) + 31 + 5 = 69/50 (a+b+c)/v
Cette derniere egalite est obtenue en exprimant le temps total de montee de la personne pressee. Ce systeme de quatre equations est equivalent a
9a = 8c
7a = 28 + 2(a+b+c)
27v = 2c
a + 6b/5 + c + 108v = 207/50 (a+b+c)
ou encore
9a - 8c = 0
5a - 2b - 2c = 28
- 2c + 27v = 0
157a + 147b + 157c - 5400v = 0
qui peut etre resolu par une methode classique applicable aux systemes lineaires. L'unique solution est a=24, c=27, b=19 et v=2. L'escalier compte donc au total 24+27+19=70 marches.
Version courte et astucieuse
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Remarquons qu'a aucun moment, on n'a utilise le fait que les 5 secondes finales du trajet representent une marche de moins qu'a la vitesse habituelle. Puisque ces 5 secondes correspondent a un tiers de la troisieme volee d'escaliers, ceci peut se traduire simplement par (avec les meme notations que ci-dessus)
c/3 + 1 = 5v
Puisque v = c/13.5, ceci implique directement que
c/3 + 1 = 5/13.5 c
d'ou
9c + 27 = 10 c
et finalement c = 27
L'equation a = 8/9c permet de deduire a = 24 et l'equation a/2 = 2 + (a+b+c)/7 nous donne 12 = 2 + (a+b+c)/7, ce qui permet de conclure a+b+c = 7 (12-2) = 70 marches.
Version longue et calculatoire
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Soit a,b,c les nombres de marches des premiere, seconde et troisieme volees d'escalier. Soit v la vitesse normale de montee (en marches/secondes).
L'enonce implique successivement les egalites suivantes :
a = 8/9 c
a/2 = 2 + (a+b+c)/7
v = c/13.5
a/(3v) + b/(3v 5/6) + 2/3 c/(3v 2/3) + 31 + 5 = 69/50 (a+b+c)/v
Cette derniere egalite est obtenue en exprimant le temps total de montee de la personne pressee. Ce systeme de quatre equations est equivalent a
9a = 8c
7a = 28 + 2(a+b+c)
27v = 2c
a + 6b/5 + c + 108v = 207/50 (a+b+c)
ou encore
9a - 8c = 0
5a - 2b - 2c = 28
- 2c + 27v = 0
157a + 147b + 157c - 5400v = 0
qui peut etre resolu par une methode classique applicable aux systemes lineaires. L'unique solution est a=24, c=27, b=19 et v=2. L'escalier compte donc au total 24+27+19=70 marches.
Version courte et astucieuse
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Remarquons qu'a aucun moment, on n'a utilise le fait que les 5 secondes finales du trajet representent une marche de moins qu'a la vitesse habituelle. Puisque ces 5 secondes correspondent a un tiers de la troisieme volee d'escaliers, ceci peut se traduire simplement par (avec les meme notations que ci-dessus)
c/3 + 1 = 5v
Puisque v = c/13.5, ceci implique directement que
c/3 + 1 = 5/13.5 c
d'ou
9c + 27 = 10 c
et finalement c = 27
L'equation a = 8/9c permet de deduire a = 24 et l'equation a/2 = 2 + (a+b+c)/7 nous donne 12 = 2 + (a+b+c)/7, ce qui permet de conclure a+b+c = 7 (12-2) = 70 marches.
